Question

不等式 已知 a,b,c均为正数.证明：a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 ≥ 6√3 ,

Answer 1

设 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2.

最小值发生在其对a,b,c的导数均为零的时候.

对a求导数（把b和c当成无关常数）,可得

F'_a (a,b,c) = 2a - 2(1/a + 1/b + 1/c) (1/a^2) =0.

整理,可得 a^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0...(1)

同理分别对b和c求导数,得

b^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0..(2)

c^3 - (1/a + 1/b + 1/c) =0....(3)

所以,a=b=c.代入(1),可得,a^3 - 3/a=0,所以a=b=c=3^(1/4).

这是,可求得 F(a,b,c)=a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 = 6√3.

由于这是极小值,所以 a^2+b^2+c^2+(1/a+1/b+1/c)^2 >= 6√3.

a=b=c=3^(1/4) 时取等号.