Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交与A,B两点,|AB|=2√2,AB的中点M与

Answer 1

设A(x1,y1),B(x2,y2)

有(y2-y1)/(x1-x2)=1

(y1+y2)/(x1+x2)=√2/2

将两点代入方程,两式相减有（y2-y1）（y1+y2）/{（x1-x2）（x1+x2）}=b²/a²

有b²/a²=√2/2

|AB|²=（x1-x2）²+（y1-y2）²=2（x1-x2）²=8

x1-x2=2

将y=1-x带入椭圆方程可求出

x1+x2=2a²/(a²+b²)=4/(2+√2)

x1x2=(1-b²)a²/(a²+b²)=2(1-b²)/(2+√2)

（x1-x2）²=（x1+x2）²-4x1x2=4

b²=3√2/2

a²=3

椭圆方程为x²/3+y²/（3√2/2）=1