Question

点A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线C：x²=2y上的不同两点,过A,B分别作抛物线C的切线,两条切线

Answer 1

1、

x²=2y

对x求导

2x=2y'

y'=x

即切线斜率是x

所以PA是y-y1=x1(x-x1)=x*x1-x1²

PB是y-y2=x*x2-x2²

相减

y2-y1=x(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)

因为y=x²/2

所以-(x1+x2)(x1-x2)/2=x(x1-x2)-(x1+x2)(x1-x2)

-(x1+x2)/2=x-(x1+x2)

所以x0=(x1+x2)/2

所以是等差中项

2、

AB过定点M（0,1）

则y-1=k(x-0)

y=kx+1

x²=2y

所以x²-2kx-2=0

x1+x2=2k

x1x2=-2

则x0=(x1+x2)/2=k

由第一个

y0=y1+x0*x1-x1²=x1²/2+(x1+x2)/2*x1-x1²=x1x2/2

所以y0=-1

所以kop=y0/x0=-1/k,而kAB=k

所以OP垂直AB

同理

kAP=x1

KOB=y2/x2=(x2²/2)/x2=x2/2

而x1*x/2=-1

所以AP垂直OB

所以O是三角形高的交点,即垂心

3、

设重心是G(x,y)

则x=(x1+x2+x0)/3=(2x0+x0)/3=x0=k

y=(y1+y2+y0)/3=(1/2)(x1²+x2²)/3-1/3

=1/6*[(x1+x2)²-2x1x2]-1/3

=(2k²+1)/3

所以轨迹是y=(2x²+1)/3'

花了很长时间

哎,185分钟内采纳的饿0分也没了

其实得不偿失的