Question

设{a n }是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n 是其前n项和．记 b n = n S n n 2 +c

Answer 1

证明：（1）若c=0，则a _n=a ₁+（n-1）d， S n =

n[(n-1)d+2a]

2 ， b n =

n S n

n 2 =

(n-1)d+2a

2 ．

当b ₁，b ₂，b ₄成等比数列时，则 b 2 2 = b 1 b 4 ，

即： (a+

d

2 ) 2 =a(a+

3d

2 ) ，得：d ²=2ad，又d≠0，故d=2a．

因此： S n = n 2 a ， S nk =(nk ) 2 a= n 2 k 2 a ， n 2 S k = n 2 k 2 a ．

故： S nk = n 2 S k （k，n∈N*）．

（2） b n =

n S n

n 2 +c =

n 2

(n-1)d+2a

2

n 2 +c

=

n 2

(n-1)d+2a

2 +c

(n-1)d+2a

2 -c

(n-1)d+2a

2

n 2 +c

=

(n-1)d+2a

2 -

c

(n-1)d+2a

2

n 2 +c ．①

若{b _n}是等差数列，则{b _n}的通项公式是b _n=A _n+B型．

观察①式后一项，分子幂低于分母幂，

故有：

c

(n-1)d+2a

2

n 2 +c =0 ，即 c

(n-1)d+2a

2 =0 ，而

(n-1)d+2a

2 ≠0 ，

故c=0．

经检验，当c=0时{b _n}是等差数列．