Question

已知函数f（x）=log2（x+1），g（x+1）=log2（3x+2），求在g（x）≥f（x）成立的条件下，函数y=g

Answer 1

解题思路：先由g（x+1），求得g（x），再将“g（x）≥f（x）”转化为“log₂（3x-1）≥log₂（x+1）”，再利用对数函数的单调性求得x的取值范围，即为新函数y=g（x）-f（x）的定义域，然后，利用函数的单调性求得新函数的值域．

由题设，g（x）=log₂（3x-1）--（2分）

由g（x）≥f（x）即：log₂（3x-1）≥log₂（x+1）得

3x−1≥x+1

3x−1＞0

x+1＞0⇔

x≥1

x＞

1

3

x＞−1⇒x≥1

∴使g（x）≥f（x）的x的取值范围是

x≥1y=g（x）-f（x）=log₂（3x-1）-log₂（x+1）

=log2

3x−1

x+1＝log2(3−

4

x+1)

∵x≥1∴1≤3−

4

x+1＜3

又∵y=log₂x在x∈（0，+∞）上单调递增

∴当x≥1时，log23＞log2(3−

4

x+1)≥log21＝0，

∴所求函数的值域为[0，log₂3）

点评：

本题考点： 对数函数的值域与最值．

考点点评： 本题主要考查对数的运算法则及对数函数的定义域，单调性和值域，还考查了函数的构造与转化，体现了综合性．