Question

已知函数f（x）=lnx-ax+[1−a/x]-1（a∈R），当a≤[1/2]时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解题思路：利用导数的运算法则得出f′（x），分a=0，a＜0，

0＜a＜

1

2

，a=[1/2]讨论起单调性．当a=0时，容易得出单调性；当a=[1/2]，a＜0，

0＜a＜

1

2

时，分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0的区间即可得出单调区间．

f′(x)＝

1

x−a−

1−a

x2=-

ax2−x+1−a

x2=-

[ax+(a−1)](x−1)

x2（x＞0），

令g（x）=ax²-x+1-a，

①当a=0时，g（x）=-x+1，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；

②当0＜a＜[1/2] 时，由f′（x）=0，x₁=1，x₂=[1/a]-1．此时 [1/a]-1＞1＞0，

列表如下：

由表格可知：函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，

1

a−1)上单调递增；

③当a=[1/2] 时，x₁=x₂，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）单调递减；

④当a＜0时，由于 [1/a]-1＜0，则函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

综上：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．

当a=[1/2]时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．

当0＜a＜

1

2时，函数f（x）在区间（0，1）和(

1

a−1，+∞)上单调递减，在区间(1，

1

a−1)上单调递增．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、分类讨论的思想方法等是解题的关键．