Question

已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，过原点O作倾斜角为[

Answer 1

解题思路：（1）根据[p/2]=OA•cos60°可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；

（2）以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，求出⊙Q的方程，可得ST的方程，从而可求定点坐标．

（1）因为[p/2]=OA•cos60°=2×[1/2]=1，即p=2，所以抛物线C的方程为y²=4x

设⊙M的半径为r，则r=[OB/2×

1

cos60°＝2，所以⊙M的方程为（x-2）²+y²=4；

（2）证明：以点Q为圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦

设点Q（-1，t），则QS²=QM²-4=t²+5，

所以⊙Q的方程为（x+1）²+（y-t）²=t²+5

从而直线ST的方程为3x-ty-2=0（*）

因为x=

2

3]，y=0一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（[2/3]，0）．

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合．

考点点评： 本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，考查直线恒过定点问题，确定ST是⊙Q与⊙M的公共弦是关键．