Question

在三角形ABC中,角ABC所对边为abc,求证三角形为等边三角形的充要条件是a²+b²+c²

Answer 1

a²+b²+c²=ab+bc+ca

a²+b²+c²-ab-bc-ac=0

所以2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0

(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ac+a²)=0

(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0

所以a-b=0,b-c=0,c-a=0

a=b,b=c,c=a

所以a=b=c

所以是等边三角形

而等边三角形则a=b=c

所以a²+b²+c²=ab+bc+ca

所以是充要条件