如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;再顺

2个回答

  • 解题思路:(1)由A1D1分别是△ABD的中位线,B1C1是△CBD的中位线知,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=[1/2]BD,故四边形A1B1C1D1是平行四边形,由AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1知,四边形A1B1C1D1是矩形;

    (2)由三角形的中位线的性质知,B1C1=[1/2]BD=4,B1A1=[1/2]AC=3,故矩形A1B1C1D1的面积为12,可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半,为6;

    (3)由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,故四边形AnBnCnDn的面积为

    24×

    1

    2

    n

    (4)由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长,再求得它的周长.

    (1)证明:∵点A1,D1分别是AB、AD的中点,

    ∴A1D1是△ABD的中位线

    ∴A1D1∥BD,A1D1=[1/2]BD,

    同理:B1C1∥BD,B1C1=[1/2]BD

    ∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=[1/2]BD

    ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形.

    ∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1

    ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°

    ∴四边形A1B1C1D1是矩形;

    (2)由三角形的中位线的性质知,B1C1=[1/2]BD=4,B1A1=[1/2]AC=3,

    得:四边形A1B1C1D1的面积为12;四边形A2B2C2D2的面积为6;

    (3)由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,

    故四边形AnBnCnDn的面积为24×

    1

    2n;

    (4)方法一:由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4,宽为3.

    ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1

    ∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x,则4x•3x=

    1

    25×24,

    解得x=

    1

    4

    ∴4x=1,3x=

    3

    4

    ∴矩形A5B5C5D5的周长=2•(1+

    3

    4)=

    7

    2

    方法二:矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积

    =(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2

    即[3/4]:12=(矩形A5B5C5D5的周长)2:142

    ∴矩形A5B5C5D5的周长=

    3

    1

    12×142=

    7

    2.

    点评:

    本题考点: 矩形的判定;三角形中位线定理.

    考点点评: 本题利用了三角形的中位线的性质,相似图形的面积比等于相似比的平方求解.