Question

若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）在它们的公共定义域上的任意实数x分别满足：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx

Answer 1

（1）∵F（x）=f（x）-g（x）=x ²-2clnx（x＞0），

∴F′（x）=2x-

2c

x =（2x ²-2c）/x=

2(x-

e )(x+

e )

x

令F′（X）=0，得x=

e ，

当0＜x＜

e 时，F′（X）＜0，X＞

e 时，F′（x）＞0

故当x=

e 时，F（x）取到最小值，最小值是0

（2）由（1）可知，函数f（x）和g（x）的图象在x=

e 处有公共点，因此存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线方程为y-e=k（x-

e ，即y=kx-k

e +e

由f（x）≥kx-k

e +e（x⊂R），可得x ^2-kx-k

e +e，

由f（x）≥kx-k

e +e（x⊂R），可得x ²-kx+k

e -e≥0当x⊂R恒成立，

则△=k2-4k

e +4e=（k-2

c ） ^2≤0，只有k=2

e ，此时直线方程为：y=2

e x-e，

下面证明g（x）≤2

e x-e ^{exx＞0时恒成立
令G（x）=2}

e x-e-g（x）=2

e x-e-2elnx，

G′（X）=2

c -

2c

x =（2

c x-2c）/x=2

c （x-

e ）/x，

当x=

e 时，G′（X）=0，当0＜x＜

e 时G′（X）＞0，

则当x=

e 时，G（x）取到最小值，极小值是0，也是最小值．

所以G（x）=2

e x-e-g（x）≥0，则g（x）≤2

e x-e当x＞0时恒成立．

∴函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2

e x-e