解题思路:求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a-1,然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到a-1与4和6的关系,则答案可求.
由函数f(x)=
1
3x3−
1
2ax2+(a−1)x+1,
得f′(x)=x2-ax+a-1.
令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.
当a-1≤1,即a≤2时,f′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;
当a-1>1,即a>2时,f′(x)在(-∞,1)上大于0,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,
f′(x)在(1,a-1)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数,f′(x)在(a-1,+∞)内大于0,
函数f(x)在(a-1,+∞)上为增函数.
依题意应有:
当x∈(1,4)时,f′(x)<0,
当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.
∴4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.
∴a的取值范围是[5,7].
故选:B.
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法,解答的关键是对端点值的取舍,是中档题.