(2014•呼伦贝尔一模)若函数f(x)=[1/3]x3-[1/2]ax2+(a-1)x+1在区间(1,4)内为减函数,

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  • 解题思路:求出原函数的导函数,求得导函数的零点1,a-1,然后分1与a-1的大小分析导函数在不同区间内的符号,从而得到原函数在不同区间内的单调性,最后借助于已知条件得到a-1与4和6的关系,则答案可求.

    由函数f(x)=

    1

    3x3−

    1

    2ax2+(a−1)x+1,

    得f′(x)=x2-ax+a-1.

    令f′(x)=0,解得x=1或x=a-1.

    当a-1≤1,即a≤2时,f′(x)在(1,+∞)上大于0,函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,不合题意;

    当a-1>1,即a>2时,f′(x)在(-∞,1)上大于0,函数f(x)在(-∞,1)上为增函数,

    f′(x)在(1,a-1)内小于0,函数f(x)在(1,a-1)内为减函数,f′(x)在(a-1,+∞)内大于0,

    函数f(x)在(a-1,+∞)上为增函数.

    依题意应有:

    当x∈(1,4)时,f′(x)<0,

    当x∈(6,+∞)时,f′(x)>0.

    ∴4≤a-1≤6,解得5≤a≤7.

    ∴a的取值范围是[5,7].

    故选:B.

    点评:

    本题考点: 利用导数研究函数的单调性.

    考点点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性,考查了分类讨论的数学思想方法,采用了逆向思维方法,解答的关键是对端点值的取舍,是中档题.