任取数域P上任意两个n维线性空间V1,V2.
取V1上的一组基a1,a2,···,an；取V2上的一组基b1,b2,···,bn.
则任意向量a属于V1有a=k1a1 + k2a2 + ··· +knan；
构造映射f:V1--->V2,f(a) = k1b1 + k2b2 + ··· +knbn.那么就有f(ai) = bi (i = 1,2,···,n)
下证f是双射：
先证f是单射,
设存在b,b'属于V2,使得f(a) = b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn ,
f(a) = b' = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn ,
则由b = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn = t1b1 + t2b2 + ··· +tnbn = b'
移项整理得(s1-t1)b1 + (s2-t2)b2 + ··· +(sn-tn)bn = 0,
由于b1,b2,···,bn是一组基,必有si=ti (i = 1,2,···,n)
从而b=b',
归结为一句话“任意向量a属于V1,V2中有且仅有一个向量b使得f(a) = b”
因此f是单射
再证f是满射,
取任意向量b属于V2并设b=s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
显然存在a属于V1,且a=s1a1 + s2a2 + ··· +snan,使得 b=f(a) = s1b1 + s2b2 + ··· +snbn,
归结为一句话“任意向量b属于V2,在V1中都存在一个向量a使得f(a) = b”
因此f是满射
由得,f是双射,下证f是同构映射,
任意T属于数域P,Ta=Tk1a1 + Tk2a2 + ··· +Tknan,
于是 f(Ta) = Tk1b1 + Tk2b2 + ··· +Tknbn = T(k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) = Tf(a)
另外,任意向量a‘=s1a1 + s2a2 + ··· +snan 属于V1,
显然f(a+a’) = (k1+s1)b1 + (k2+s2)b2 + ··· +(kn+sn)bn
= (k1b1 + k2b2 + ··· +knbn) + (s1b1 + s2b2 + ··· +snbn)
= f(a) + f(a')
因此 f是同构映射.
综上可知,数域P上任意两个n维线性空间V1,V2之间都存在同构映射
再由线性空间同构的定义“若两线性空间之间存在同构映射,则这俩个线性空间同构”,
所以数域P上任意两个n维线性空间都同构!
证毕!