(2012•深圳)如图,已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4,0)、B(1,0)、C(-2,6).

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  • 又∵由抛物线经过C(-2,6),∴6=a(-2+4)(-2-1),解得:a=-1.

    ∴经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=-(x+4)(x-1),即y=-x2-3x+4.

    (2)证明:设直线BC的函数解析式为y=kx+b,

    由题意得:,解得:.

    ∴直线BC的解析式为y=-2x+2.

    ∴点E的坐标为(0,2).

    ∴.

    ∴AE=CE.

    (3)相似.理由如下:

    设直线AD的解析式为y=k1x+b1,则 ,解得:.

    ∴直线AD的解析式为y=x+4.

    联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,解得:.

    ∴点F的坐标为( ).

    则.

    又∵AB=5,

    ∴.∴.

    又∵∠ABF=∠CBA,∴△ABF∽△CBA.

    ∴以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.

    【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,勾股定理,相似三角形的判定.

    【分析】(1)利用待定系数法求解即可得出抛物线的解析式.

    (2)求出直线BC的函数解析式,从而得出点E的坐标,然后分别求出AE及CE的长度即可证明出结论.

    (3)求出AD的函数解析式,然后结合直线BC的解析式可得出点F的坐标,根据勾股定理分别求出BF,BC 得出;由题意得∠ABF=∠CBA,即可作出判断.