Question

已知数列{an}满足(n+1)an+1=an+n,且a1=2,则a2010=?

Answer 1

因为(n+1)a(n+1)=an+n,

所以a(n+1)=(an+n)/(n+1),

a(n+1)-1=(an+n)/(n+1)-1,

即a(n+1)-1=(an-1)/(n+1),

取倒数可得：

1/[ a(n+1)-1]= (n+1) /(an-1),

∴ [ a(n+1)-1] /(an-1) = 1/(n+1).

所以

(a2-1)/(a1-1)=1/2,

(a3-1)/(a2-1)=1/3,

(a4-1)/(a3-1)=1/4,

…………

(an-1) /(a(n-1)-1) = 1/n.

以上各式相乘得：

(an-1) /(a1-1)=1/(2*3*4*……*n),

a1=2代入上式可得：

an-1=1/(n!),

an=1+1/(n!).

∴a2010=1+1/2010!.