Question

如图：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，且AC⊥AB，BD⊥CD，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F

Answer 1

解题思路：（1）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC=∠BDC=90°，∠AMB=∠DMC是对顶角，即可证明△AMB∽△DMC；

（2）因为AC⊥AB，BD⊥CD，所以，∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，可得∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，所以∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，即∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，可证△BAD∽△BFA，得[BD/AB]=[AB/BF]，即得AB²=BF•BD．

证明：（1）∵AC⊥AB，BD⊥CD，

∴∠BAC=∠BDC=90°，

又∵∠AMB=∠DMC，

∴△AMB∽△DMC；

（2）∵AC⊥AB，BD⊥CD，

∴∠BAC=∠BDC=90°，即A、B、C、D四点共圆，

∴∠CAD=∠CBD，又由AE⊥BC，

∴∠AEB=∠BAC，∠BAC+∠CAD=∠DBC+∠AEB，

∴∠BAD=∠BFA，∠FBA是公共角，

∴△BAD∽△BFA，

∴[BD/AB]=[AB/BF]，

∴AB²=BF•BD．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．