Question

用基本不等式证明以下命题 设a、b∈R+,证明b/a^3+a/b^3>=1/a^2+1/b^2 请用均值不等式证明

Answer 1

∵a、b ∈ R+

∴b/a^3,a/b^3,1/a^2,1/b^2 ∈ R+

∴b/a^3+a/b^3,1/a^2+1/b^2 ∈ R+

【b/a^3+a/b^3】/【1/a^2+1/b^2】

分子分母同乘以ab：

= 【b^2/a^2+a^2/b^2】/【b/a+a/b】

= 【(b/a+a/b)^2-2】/【b/a+a/b】

= (b/a+a/b) - 2/(b/a+a/b)

根据A、B∈R+时,A+B≥2√(AB)

b/a+a/b≥2√(b/a*a/b)=2

2/(b/a+a/b)≤2/2=1

∴(b/a+a/b) - 2/(b/a+a/b)≥2-1=1

∴【b/a^3+a/b^3】/【1/a^2+1/b^2】=(b/a+a/b) - 2/(b/a+a/b)≥1

∴b/a^3+a/b^3 ≥ 1/a^2+1/b^2