Question

已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，AA1的中点，求证：三条直线DA，CE，D1F交于一点．

Answer 1

解题思路：欲证：三条直线DA，CE，D₁F交于一点，先将其中一条直线看成是两个平面的交线，再证明另外两条直线的交点是这两个平面的公共点，由平面的基本性质，从而证得三条直线交于一点．

证明：连接EF、CD₁、BA₁，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

点E，F分别是棱AB，AA₁的中点，∴EF∥BA₁，EF＝

1

2BA1，

又A₁D₁∥B₁C₁，A₁D₁=B₁C₁∴四边形A₁BCD₁为平行四边形，∴BA₁∥CD₁BA₁=CD₁

∴EF∥CD₁，EF＝

1

2CD1∴四边形是梯形，

∴D₁F与CE的延长线交于一个点，设为O点，

则有O∈D₁F，D₁F⊂平面AD₁，

∴O∈平面AD₁，同理O∈平面AC，且平面AD₁∩平面AC=AD

∴O∈AD，∴三条直线DA，CE，D₁F交于一点．

点评：

本题考点： 平面的基本性质及推论；棱柱的结构特征．

考点点评： 本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、共点的证明方法、棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．