Question

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点P（t，0）在x轴上，B是线段PA的中点．将线段PB绕着点P顺时针方

Answer 1

解题思路：（1）根据旋转的现在得出PB=PC，再根据B是线段PA的中点，得出∠BPC=90°，从而得出△PBC是等腰直角三角形．

（2）根据∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根据B是PA的中点，得出四边形POBC是平行四边形，当OB⊥BP时，得出OP²=2OB²，即t²=2（[1/4]t²+1），求出符合题意的t的值，即可得出答案；

（3）根据题意得出∠AOP=∠APC=90°，再分两种情况讨论，当[OP/OA]=[PC/PA]=[1/2]时和[OA/OP]=[PC/PA]=[1/2]时，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分别求出t的值即可．

（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：

∵线段PB绕着点P顺时针方向旋转90°，得到线段PC，

∴PB=PC，

∵B是线段PA的中点，

∴∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）当OB⊥BP时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．

∵∠OBP=∠BPC=90°，

∴OB∥PC，

∵B是PA的中点，

∴OB=[1/2]AP=BP=PC，

∴四边形POBC是平行四边形，

当OB⊥BP时，有OP=

2OB，即OP²=2OB²，

∴t²=2（[1/4]t²+1），

∴t₁=2，t₂=-2（不合题意），

∴当t=2时，以P、O、B、C为顶点的四边形为平行四边形．

（3）由题意可知，∠AOP=∠APC=90°，

当[OP/OA]=[PC/PA]=[1/2]时，

△AOP∽△APC，

此时OP=[1/2]OA=1，

∴t=±1，

当[OA/OP]=[PC/PA]=[1/2]时，

△AOP∽△CPA，

此时OP=2OA=4，

∴t=±4，

∴当t=±1或±4时，△AOP与△CPA相似．

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解．