Question

是否存在实数a，使函数f（x）=loga（ax2-x）在区间[2，4]上是增函数？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说

Answer 1

解题思路：设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=[1/2a]．分当a＞1时和当0＜a＜1 两种情况，分别利用二次

函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域，求得a的范围，综合可得结论．

设u（x）=ax²-x，显然二次函数u的对称轴为x=[1/2a]．

①当a＞1时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为增函数，

故应有

1

2a≤2

u(2)＝4a−2＞0，解得 a＞[1/2]．…（6分）

综合可得，a＞1．…（7分）

②当0＜a＜1 时，要使函数f（x）在[2，4]上为增函数，则u（x）=ax²-x 在[2，4]上为减函数，

应有

1

2a≥4

u(4)＝16a−4＞0，解得a∈∅．…（14分）

综上，a＞1时，函数f（x）=log_a（ax²-x）在区间[2，4]上为增函数．…（16分）

点评：

本题考点： 复合函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查复合函数的单调性，体现了分了讨论、转化的数学思想，属于中档题．