Question

设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，并且同时满足下面两个条件：①对正数x，y都有f（xy）=f（x）

Answer 1

解题思路：（1）利用赋值法即可求f（1）和f（4）的值；

（2）根据抽象函数的关系将不等式进行转化即可得到结论．

（1）令x=y=1⇒f（1）=0；令x=2，y=[1/2]⇒f（1）=f（2）+f(

1

2)，

∴f（2）=-1，

再令x=y=2⇒f（4）=f（2）+f（2）=-2，∴f（1）=0，f（4）=-2．

（2）∵f（3+x）+f（3-x）=f（9-x²），

其中，

3+x＞0

3-x＞0，又-2=f（4），

∴原不等式化为：f（9-x²）＞f（4），

又f（x）在（0，+∞）上为减函数，

∴

3+x＞0

3-x＞0

9-x2＜4，∴-3＜x＜-

5或

5＜x＜3，

∴不等式解集为：（-3，-

5）∪（

5，3）．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用

考点点评： 本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解集抽象函数的基本方法．