Question

已知二次函数f（x）=ax 2 +bx+c（a，b，c均为实数），满足a-b+c=0，对于任意实数x 都有f&

Answer 1

（1）∵对于任意x∈R，都有f（x）-x≥0，且当x∈（0，2）时，

有f（x）≤ (

x+1

2 ) 2 ．令x=1

∴1≤f（1）≤ (

1+1

2 ) 2 ．

即f （1）=1．

（2）由a-b+c=0及f （1）=1．

有

a-b+c=0

a+b+c=1 ，可得b=a+c=

1

2 ．

又对任意x，f（x）-x≥0，即ax ²-

1

2 x+c≥0．

∴a＞0且△≤0．

即

1

4 -4ac≤0，解得ac≥

1

16 ．

（3）由（2）可知a＞0，c＞0．

a+c≥2

ac ≥2•

1

16 =

1

2 ．

当且仅当

a=c

a+c=

1

2 时等号成立．此时

a=c=

1

4 ．

∴f （x）=

1

4 x ²+

1

2 x+

1

4 ，

F （x）=f （x）-mx=

1

4 [x ²+（2-4m）x+1]．

当x∈[-2，2]时，f （x）是单调的，所以F （x）的顶点一定在[-2，2]的外边．

∴ |

2-4m

2 | ≥2．

解得m≤-

1

2 或m≥

3

2 ．