Question

已知函数f：R+→R满足：对任意x，y∈R+，都有f(x)f(y)＝f(xy)+2006(1x+1y+2005)，则所有

Answer 1

解题思路：利用赋值法，令x=y=1，求得f（1）=2007，或f（1）=-2006，再令令y=1，则f（x）•f（1）=f（x）+2006（1x+2006），然后代入f（1）即可，

令x=y=1，

则f（1）•f（1）=f（1）+2006×2007

解得f（1）=2007，或f（1）=-2006，

再令y=1，

则f（x）•f（1）=f（x）+2006（[1/x]+2006），

∴2007f（x）-f（x）=2006（[1/x]+2006），或-2006f（x）-f（x）=2006（[1/x]+2006），

∴f（x）=[1/x]+2006，或f（x）=-[2006/2007]（[1/x]+2006）

故答案为：f（x）=[1/x]+2006，f（x）=-[2006/2007]（[1/x]+2006）

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用．

考点点评： 本题主要考查了抽象函数的解析式的求法，关键利用赋值法，属于基础题．