解 存在.
由已知得
C点在直线上 令x=0.,得y=-1 得C(0,-1)
又因为三角形面积是1/4,Ya=,1所以1/4=1/2 * Xb *Ya
Xb=1/2 得B(1/2,0)代入直线 得k=2 直线为y=2x-1
设存在P（X,0）
（1）以OA为底时
过A点做与X轴的垂线,设焦点为D.则由已知得OC =CA=1
易知OA=根号二（抱歉不会打根号...）
因为PA=PO 得
根号【（X-1）的平方 +（0-1）的平方】=x
得X=1或X=2
（2）以PA为底时
有OA=OP 得 x的绝对值=根号2
得x=根号2 或 x=-根号2
（3）以PO为底时,
有AO=AP 得 根号2=根号【（x-1）的平方+（0-1）的平方】
得X=0（舍去） 或 X=2
综上所述；存在P(1,0)(2,0)(根号2,0)(-根号2,0)四种情况.