（1）函数
的定义域为（0，+∞），
∴
，
①当
，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
②当
时，
令
，
解得
，
（ⅰ）若
，
∴
，
∴函数F（x）在（0，+∞）上单调递增；
（ⅱ）若a＞0，则
；
，
∴函数F（x）在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
综上所述，当a≤0时，函数F（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数F（x）的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
（2）令
，
令
，
当
，
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增，在区间
上单调递减，
∴当x=e时，函数h（x）取得最大值，其值为
，
而函数
，
当x=e时，函数m（x）取得最小值，其值为
，
∴当
时，方程
只有一个根。