Question

三角形的三边平方和≥4√3S（S为三角形面积）要怎么证明?

Answer 1

利用海伦公式p=(a+b+c)/2 S=根号(p(p-a)(p-b)(p-c)) 4√3S=4√3√(p(p-a)(p-b)(p-c)) (4√3S)^2=[4√3√(p(p-a)(p-b)(p-c))]^2= -3a^4-3b^4-3c^4+6a^2*b^2+6a^2*c^2+6b^2*c^2 (a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2*b^2+2a^2*c^2+2b^2*c^2 (a^2+b^2+c^2)^2 - (4√3S)^2 = 4(a^4+b^4+c^4-a^2*b^2-a^2*c^2+-b^2*c^2) = 4[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]/2 ≥0 所以得证