Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e-x（x-1），给出以下命题：

Answer 1

解题思路：设x＜0，则-x＞0，由函数得性质可得解析式，可判①的真假，再由性质作出图象可对其他命题逐一作出判断．

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1），

设x＜0，则-x＞0，∴-f（x）=f（-x）=e^x（-x-1），即f（x）=e^x（x+1），故①正确；

对x＜0时的解析式求导数可得，f′（x）=e^x（x+2），令其等于0，解得x=-2，

当x∈（-∞，-2）上f′（x）＜0，函数单调递减；当x∈（-2，+∞）时，f′（x）＞0，函数单调递增，

x=-2为极小值点，且f（-2）＞-1，且在x=1处f（x）=0，且当x＜-1时f（x）＜0．

又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：

由图象可知：函数f（x）有3个零点，故②错误；

由于函数-1＜f（x）＜1，故有对∀x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立，即③正确．

若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是-1＜m＜1，故④错误；

故答案为：①③．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查奇函数的性质，考查数形结合思想，由图象作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．