Question

已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式

Answer 1

根据无穷递缩等比数列求和公式S=a1/(1-q) 其中丨q丨＜1,对于本题有

a1/(1-q)=1,或a1=1-q；①

又,数列各项的平方依次是a1²、a1²q²、a1²q^4……a1²q^(2n-2)……,

其首项是a1²,公比是q²,各项的和是a1²/(1-q²)=1/3,或3a1²=1-q²,②

将①代入②得3(1-q)²=1-q²,解此方程得q=1/2 (舍去另一根：1）.由②得a1=1/2.

所求数列的通项公式是an=(1/2)*(1/2)^(n-1)=1/(2^n).