Question

已知数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an=2an-1+1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是（

Answer 1

解题思路：由递推式可求得数列的前4项，从而可猜想a_n，通过构造等比数列可求证．

由a₁=1，当n≥2时，a_n=2a_n-1+1，得

a₂=2a₁+1=2×1+1=3，a₃=2a₂+1=2×3+1=7，a₄=2a₃+1=2×7+1=15，

猜想an＝2n-1，证明如下：

由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），

∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，

则a_n+1=2ⁿ，∴an＝2n−1，

故选C．

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的概念及简单表示法．

考点点评： 本题考查由数列递推式求数列通项公式，考查学生观察分析能力及推理论证能力．