Question

设A为三阶实对称矩阵，α1=（a，-a，1）T是Ax=0的解，α2=（a，1，-a）T是（A+E）x=0的解，则常数a=

Answer 1

解题思路：首先，由两个向量知道它们分属于矩阵A的两个特征值对应的特征向量；然后，依据实对称矩阵不同特征值对应的特征向量是正交，求得常数a．

由α₁=（a，-a，1）^T是Ax=0的解，知α₁是A的特征值0的特征向量；

由α₂=（a，1，-a）^T是（A+E）x=0的解，知α₂是A的特征值-1的特征向量

∴α₁=（a，-a，1）^T与α₂=（a，1，-a）^T正交的

∴a²-2a=0

即a=0或2

点评：

本题考点： 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；正交向量组．

考点点评： 此题考查实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，以及特征值和特征向量的定义，是基础知识点．