解题思路：（Ⅰ）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；
（Ⅱ）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax+
a−1
x]+1-2a-lnx，x∈[1，+∞），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围．
（Ⅰ）f′(x)＝a−
b
x2，
则有
f(1)＝a+b+c＝0
f′(1)＝a−b＝1，
解得
b＝a−1
c＝1−2a
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)＝ax+
a−1
x+1−2a，
令g（x）=f（x）-lnx=ax+[a−1/x]+1-2a-lnx，x∈[1，+∞）
则g（1）=0，g′(x)＝a−
a−1
x2−
1
x＝
ax2−x−(a−1)
x2＝
a(x−1)(x−
1−a
a)
x2
（i）当0＜a＜
1
2，[1−a/a＞1
若1＜x＜
1−a
a]，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，
所以g（x）＜g（1）=0，f（x）＞lnx，故f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒不成立．
（ii）a≥
1
2时，[1−a/a≤1
若f（x）＞lnx，故当x≥1时，f（x）≥lnx
综上所述，所求a的取值范围为[
1
2，+∞)
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题．
考点点评： 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论思想，属于基础题．
1年前
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