求用向量法解决此题的2.4.5小问,

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  • 解析:∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1,E,F,G,H分别为A1B1,A1D1,BC,B1D1中点,

    建立以D为原点,以DC方向为X轴,以DA方向为Y轴,以DD1方向为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz

    由点坐标:D(0,0,0),A(0,1,0) ,B(1,1,0),C(1,0,0),D1(0,0,1),A1(0,1,1),B1(1,1,1),C1(1,0,1),

    E(1/2,1,1),F(0,1/2,1),G(1,1/2,0),H(1/2,1/2,1),

    (2)向量GH=(-1/2,0,1),向量BE=(-1/2,0,1)

    ∴向量GH//向量BE==>GH//BE

    ∵BE⊂面EFDB

    ∴GH//面EFDB;

    (4)向量BB1=(0,0,1)是面ABCD的一个法向量

    |向量GH|=√5/2,|向量BB1|=1

    向量GH*向量BB1=1

    Cos=向量GH*向量BB1/[|向量GH|*|向量BB1|]=2√5/5

    ∵向量GH与向量BB1夹角和直线GH与面ABCD所成角θ互余

    ∴sinθ=2√5/5==>cosθ=√5/5

    ∴直线GH与面ABCD所成角的余弦值为√5/5;

    (5)向量BE=(-1/2,0,1),向量BD=(-1,-1,0)

    设向量m=(x,y,z)是面EBD的一个法向量

    向量BE*向量m=-1/2x+z=0

    向量BD*向量m=-x-y=0

    令y=1,则x=-1,z=-1/2

    ∴向量m=(-1,1,-1/2)==>|向量m|=3/2

    向量BB1*向量m=-1/2

    Cos=向量BB1*向量m/[|向量BB1|*|向量m|]=(-1/2)/(3/2)=-1/3

    ∵向量BB1与,向量m夹角和二面角E-BD-A互补

    ∴二面角E-BD-A的余弦值为1/3.