Question

若A,B为n阶方阵,A^T A=I,B^T B=I,且|A|=-|B|,则A+B必为奇异矩阵

Answer 1

因为 A^T A=I,B^T B=I

所以 |A|=正负1,|B|=正负1

又由已知 |A|-|B|

所以 |A||B|=-1

所以 |A^T||B^T|=-1

所以 -|A+B|

= |A^T||A+B||B^T|

= |A^T(A+B)B^T|

= |A^TAB^T+A^TBB^T|

= |B^T+A^T|

= |(A+B)^T|

= |A+B|

所以有 2|A+B| = 0

所以 |A+B| = 0.