解题思路：（1）直线OA的解析式是y=kx，把A（3，4）代入求出k即可；
（2）经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），把A（3，4）代入求出a即可；
（3）求出抛物线的对称轴（直线x=6），根据全等得出OC=OC，A和D是对应点，根据对称的性质得出A与D关于x=6对称时，所得的三角形和△ACO全等，根据A的坐标即可求出D的坐标；
（4）求出AO、AB，分为两种情况：①当P在OA上时，根据sin∠AOC=[AH/OA]=[4/5]=[PN/OP]，cos∠AOC=[OH/OA]=[3/5]=[ON/OP]，求出PN=[8/5]t，ON=[6/5]t，即可得出答案；②当P在AB上时，即可得出P的纵坐标是4，横坐标是2t-5．
（1）设直线OA的解析式是y=kx，
把A（3，4）代入得：k=[4/3]，
∴OA所在直线的解析式是y=[4/3]x．
（2）∵O（0，0），C（12，0），
∴设经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=a（x-0）（x-12），
把A（3，4）代入得：4=a（3-0）×（3-12），
解得：a=-[4/27]，
∴y=-[4/27]（x-0）（x-12）=-[4/27]x2+[16/9]x，
答：经过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-[4/27]x2+[16/9]x．
（3）∵y=-[4/27]x2+[16/9]x=-[4/27]（x-6）2+[16/3]，
∴抛物线的对称轴是直线x=6，
∵在抛物线上找一点D，使得以D、O、C为顶点的三角形与△AOC全等，A（3，4）
∴OC=OC，D于A是对应点，
∴当且仅当A、D关于直线x=6对称时，以以D、O、C为顶点的三角形才与△AOC全等，
即6-3=3，6+3=9，
∴D的坐标是（9，4）．
（4）
过A作AH⊥OC于H，PN⊥OC于N，
∵A（3，4），B（11，4），
∴AB∥x轴，
∴由勾股定理得：OA=5，
分为两种情况：
①当P在OA上时，OP=2t，sin∠AOC=[AH/OA]=[4/5]=[PN/OP]，cos∠AOC=[OH/OA]=[3/5]=[ON/OP]，
解得：PN=[8/5]t，ON=[6/5]t，
∴P的坐标是（[6/5]t，[8/5]t）；
∵OA=5，
2t=5，
t=2.5，
∴此时t的范围是0≤t≤2.5
②当P在AB上时，P的纵坐标是4，横坐标是OH+HM=3+2（t-2.5）=2t-2，
即P的坐标是（2t-2，4），
∵11-3=8，8+5=13，13×[1/2]=6.5
∴此时t的范围是2.5≤t≤6.5．
点评：
本题考点： 二次函数综合题；待定系数法求正比例函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．
考点点评： 本题考查了用待定系数法求正比例函数、二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用这些性质进行计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．用了分类讨论思想．