已知函数f(x)=2x- x 2 2 -aln(x+1),a∈R.

1个回答

  • (1)若a=-4,则f(x)=2x-

    x 2

    2 +4ln(x+1),

    f ′ (x)=

    - x 2 +x+6

    x+1 =

    -(x-3)(x+2)

    x+1

    ∵f(x)的定义域为(-1,+∞)

    ∴x∈(-1,3)时,f′(x)>0,x∈(3,+∞)时,f′(x)<0

    故f(x)的单调增区间为(-1,3),单调减区间为(3,+∞)

    (2)∵ f ′ (x)=

    - x 2 +x+2-a

    x+1

    当a≥

    9

    4 时,

    - x 2 +x+2-a

    x+1 ≤0 恒成立,故函数在(-1,+∞)上单调递减,故f(x)无极值.

    当 a<

    9

    4 时,对于方程x 2-x+a-2=0,△=9-4a>0,

    设方程x 2-x+a-2=0的两根x 1,x 2, x 1 =

    1-

    9-4a

    2 , x 2 =

    1+

    9-4a

    2

    若 0<a<

    9

    4 时,-1<x 1<x 2,由函数的单调性可知f(x)有极小值点 x 1 =

    1-

    9-4a

    2 ;有极大值点 x 2 =

    1+

    9-4a

    2 .

    若a≤0时,x 1≤-1<x 2,由函数的单调性可知f(x)有极大值点 x 2 =

    1+

    9-4a

    2 ,无极小值点.