Question

ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC

Answer 1

1.因为2tanAtanC=tanAtanB+tanBtanC,所以：

tanB=2tanAtanC/(tanA+tanC)

=2sinAsinC/(sinAcosC+cosAsinC)

=2sinAsinC/sin(A+C)

=2sinAsinC/sinB

则：cosB=sin²B/(2sinAsinC)=b²/(2ac) （*） (注：应用正弦定理)

又由余弦定理有cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)

所以：a²+c²-b²=b²,即：2b²=a²+c²

所以:a²,b²,c²成等差数列

又由均值定理得：a²+c²≥2ac （当且仅当a=c时取等号）

则：2b²≥2ac,即：b²/(2ac) ≥1/2

由（*）式知：cosB≥1/2

所以：0