已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|

3个回答

  • 我给提供2种方法吧,现在要去上班,晚上回来再补充,先占个位!

    下班了...

    一个方法和上面的朋友的方法相同(英雄所见略同啊)

    方法一:用到一个结论:平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和(坐标法,向量法,余弦定理均可证明)

    把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,由上面的结论可得,|AP|^2+|BP|^2=(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.故,要想所求平方和最小,只需PO最小(AB=2为已知)

    显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.

    PO的最小值=|OC|-2=3

    故|AP|^2+|BP|^2的最小值=(36+4)/2=20

    方法二(和方法一殊途同归)

    设P点坐标为(x,y),则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2

    要想上式最小,只需PO最小,显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.

    PO的最小值=|OC|-2=3

    故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20