Question

如图所示，正方体ABCD—A 1 B 1 C 1 D 1 中，M、N分别是A 1 B 1 ，B 1 C 1

Answer 1

（1）不是异面直线（2）D ₁B与CC ₁是异面直线

（1）不是异面直线.理由如下：

∵M、N分别是A ₁B ₁、B ₁C ₁的中点.

∴MN∥A ₁C ₁，

又∵A ₁A

D ₁D，而D ₁D

C ₁C，∴A ₁A C ₁C，∴四边形A ₁ACC ₁为平行四边形.

∴A ₁C ₁∥AC，得到MN∥AC，

∴A、M、N、C在同一个平面内，

故AM和CN不是异面直线.

（2）是异面直线，证明如下：

假设D ₁B与CC ₁在同一个平面D ₁CC ₁内，

则B∈平面CC ₁D ₁，C∈平面CC ₁D ₁.

∴BC

平面CC ₁D ₁，

这与正方体ABCD—A ₁B ₁C ₁D ₁中BC⊥面CC ₁D ₁相矛盾.

∴假设不成立，故D ₁B与CC ₁是异面直线.