Question

已知函数f(x)＝x2+2x，g(x)＝(12)x−m．若∀x1∈[1，2]，∃x2∈[-1，1]使f（x1）≥g（x2

Answer 1

解题思路：对∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[-1，1]使f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_min，于是问题转化为求函数f（x），g（x）的最小值问题．

当x∈[1，2]时，

f（x）=x2+

2

x=x2+

1

x+

1

x≥3

3x2•

1

x•

1

x

=3，

当且仅当x2＝

1

x即x=1时取等号，所以f（x）_min=3．

g（x）=(

1

2)x-m在[-1，1]上单调递减，所以g(x)min＝g(1)＝

1

2−m，

对∀x₁∈[1，2]，∃x₂∈[-1，1]使f（x₁）≥g（x₂），等价于f（x）_min≥g（x）_min，

即3≥[1/2]-m，解得m≥-[5/2]．

故答案为：[-[5/2]，+∞）．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，解决的常用方法是转化为函数的最值问题进行处理．