Question

如图的倒三角形数阵满足：（1）第1行的，n个数，分别 是1，3，5，…，2n-1；（2）从第二行起

Answer 1

解题思路：设第k行的第一个数为a_k，则a₁=1，a₂=4=2a₁+2，a₃=12=2a₂+2²，a₄=32=2a₃+2³，…归纳，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，且公差依次为：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17个数．

设第k行的第一个数为a_k，

则a₁=1，

a₂=4=2a₁+2，

a₃=12=2a₂+2²，

a₄=32=2a₃+2³，

…

由以上归纳，得a_k=2a_k-1+2^k-1（k≥2，且k∈N^*），

∴

ak

2k=

ak−1

2k−1+[1/2]，即

ak

2k-

ak−1

2k−1=[1/2]，

∴数列{

an

2n}是以

a1

2=[1/2]为首项，以[1/2]为公差的等差数列，

∴

an

2n=[1/2]+（n-1）×[1/2]=[n/2]，

∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．

由数阵的排布规律可知，每行的数（倒数两行另行考虑）都成等差数列，

且公差依次为：2，2²，…，2^k，…

第n行的首项为a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差为2ⁿ，

∴第32行的首项为a₃₂=32•2³¹=2³⁶，公差为2³²，

∴第32行的第17个数是2³⁶+16×2³²=2³⁷．

故选A．

点评：

本题考点： 数列递推式．

考点点评： 本题考查数列的应用，解题时要认真审题，合理地总结规律，注意归纳法和构造法的合理运用．