Question

数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）…的前n项和为（　　）

Answer 1

解题思路：由1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1−

2

n

)

1−2

=2ⁿ-1可知，数列的前n项和为：（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n=

2(1−

2

n

)

1−2

−n

=2ⁿ⁺¹-2-n

∵1+2+2²+…+2^n-1=

1×(1−2n)

1−2=2ⁿ-1

∴数列的前n项和为：1+（1+2）+（1+2+2²）+…+（1+2+2²+…+2^n-1）

=（2¹-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）

=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n

=

2(1−2n)

1−2−n=2ⁿ⁺¹-2-n

故选D

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题为数列的求和问题，求出数列的通项公式并应用到数列中是解决问题的关键，属中档题．