函数(sint/t)的积分是什么呀?

3个回答

  • 这个函数是不可积的,但是它的原函数是存在的,只是不能用初等函数表示而已.

    习惯上,如果一个已给的连续函数的原函数能用初等函数表达出来,就说这函数是“积得出的函数”,否则就说它是“积不出”的函数.比如下面列出的几个积分都是属于“积不出”的函数

    ∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx

    ∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等于b*b)

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    以下是从别人那粘贴过来的..原函数我也不知道,

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    下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0)

    因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.

    I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0)

    显然:

    I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)

    I`(x)=∫∂(e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0)

    =∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0)

    =e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0)

    =-1/(1+x^2)

    从而有

    I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)

    |I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|

    ≤∫|e^(-xt)sint/t|dt

    ≤∫e^(-xt)dt

    =-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0)

    =1/x -->0 (x-->+∞)

    即lim(I(x))-->0 (x-->+∞)

    对(1)式两端取极限:

    lim(I(x))(x-->+∞)

    =-lim(-arctan(x)+C ) (x-->+∞)

    =-π/2+C

    即有0=-π/2+C,可得C=π/2

    于是(1)式为

    I(x)=-arctan(x)+π/2

    limI(x)=lim(-arctan(x)+π/2) (x-->0)

    I(0)=π/2

    所以有

    I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)=π/2

    因为sinx/x是偶函数,所以

    ∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞)