Question

对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2-（n+2）x-2n2=0的两个根记作an，bn（n≥2），则[1(

Answer 1

解题思路：由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），

则

1

(

a

n

−2)(

b

n

−2)

＝−

1

2n(n+1)

＝−

1

2

(

1

n

−

1

n+1

)

，然后代入即可求解．

由根与系数的关系得a_n+b_n=n+2，a_n•b_n=-2n²，

所以（a_n-2）（b_n-2）=a_nb_n-2（a_n+b_n）+4=-2n²-2（n+2）+4=-2n（n+1），

则

1

(an-2)(bn-2)=-

1

2n(n+1)=-

1/2(

1

n-

1

n+1)，

∴

1

(a2-2)(b2-2)]+

1

(a3-2)(b3-2)++

1

(a2007-2)(b2007-2)，

=-

1

2[(

1

2-

1

3)+(

1

3-

1

4)+…+(

1

2007-

1

2008)]=-

1

2(

1

2-

1

2008)=-

1003

4016．

故答案为：-[1003/4016]．

点评：

本题考点： 根与系数的关系．

考点点评： 本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．