Question

a是实数，f(x)＝a−22x+1(x∈R)，用定义证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

解题思路：设两个实数数x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差变形整理，再讨论得f（x₁）＜f（x₂），由此即可得到

f(x)＝a−

2

2

x

+1

在区间（0，2）上为减函数．

证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则

f（x₁）-f（x₂）=(a−

2

2x1+1)−(a−

2

2x2+1)-------------（2分）

=

2

2x2+1−

2

2x1+1=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)，-----------------（4分）

∵指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，

∴2x1＜2x2，可得2x1−2x2＜0，---------------------（6分）

又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）

∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），

由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．----------（10分）

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．