解题思路:设正整数a的所有正约数之和为b,d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,再求出其倒数和的表达式,再把360化为23×32×5的形式,进而求出b的值即可得出答案.
设正整数a的所有正约数之和为b,d1、d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1、=1,d2、d3、d4…dn为a的所有正约数从小到大的排列,于是d1=1,dn=a,
由于S=[1
d1+
1
d2+
1
d3+…+
1
dn中各分数分母的最小公倍数为dn=a,
故S=
dn
dn+
dn−1
dn+
dn−2
dn+…+
d1
dn=
d1+d2+d3+…dn
dn=
b/a],
而a=360=23×32×5,
故b=(1+2+22×23)×(1+3+32)×(1+5)=1170,
所以360的所有正约数的倒数和为:[1170/360]=3[1/4].
故答案为:3[1/4].
点评:
本题考点: 整数问题的综合运用.
考点点评: 本题考查的是整数问题的综合运用,能设出正整数a的所有正约数之和为b,求出其倒数和的表达式是解答此题的关键.