（1）当a=1时f(x)=sin²x+cosx-7/8
对f(x)求导,得：
f′(x)=2sinxcosx-sinx=sinx(2cosx-1)
令f′(x)=0,得：sinx=0或cosx=1/2
分析其一个周期x∈[0,2π]
当x∈（0,π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增
当x∈（π/3,π）时f′(x)＜0,f(x)单调递减
当x∈（π,5π/3）时,f′(x)＞0,f(x)单调递增
当x∈（5π/3,2π）时,f′(x)＜0,f(x)单调递减
比较两个极大值f(π/3)和f(5π/3)得：
f(5π/3)=f(π/3)=3/8
所以当a=1时,f(x)的最大值为3/8
（2）
令t=cosx,则1-t²=sin²x,对于x∈[0,π/2],有t∈[0,1]
于是f(x)=1-t²+at+(5/8)a-3/2=-t²+at+(5/8)a-1/2
令g(t)=-t²+at+(5/8)a-1/2,当g(t)取得最大值时,对应的f(x)也能取得相等的最大值
对g(t)求导,得：g′(t)=a-2t
当a≤0时,对于t∈[0,1]有g′(t)≤0,g(t)在t∈[0,1]上单调递减
于是当t=0时g(t)取得最大值g(0)=(5/8)a-3/2＜0,符合题设
当a＞2时,g′(t)在t∈[0,1]上为正,g(t)在t∈[0,1]上单调递增,
于是当t=1时g(t)取得最大值g(1)=(13/8)a-3/2
令(13/8)a-3/2≤1,得：a≤20/13＜2,不符合
当0＜a≤2时,g′(t)在t∈[0,a/2)时为正,在t∈(a/2,1]时为负
于是当t∈[0,a/2)时,g(t)单调递增；当t∈(a/2,1]时,g(t)单调递减
当t=a/2时g(t)取得最大值g(a/2)=a²/4+(5/8)a-1/2
令g(a/2)≤1,得a²/4+(5/8)a-3/2≤0,
即2a²+5a-12≤0,(2a-3)(a+4)≤0
解出-4≤a≤3/2,于是0＜a≤3/2
∴所求a的范围是a≤3/2