证明：连接OD
∵AB=AC（已知）
∴∠ABD=∠C（三角形中,等边对等角）
∵AB是直径（已知）
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）
∴∠C+∠DAE=90°
∵DE⊥AC（已知）
∴∠ADE+∠DAE=90°
∴∠ADE=∠C=∠ABD（等量公理）
∴DE是圆的切线（弦切角定理的逆定理：过圆上一点的直线与圆的一条弦的夹角等于弦所对的圆周角,则该直线为圆的切线）
**假如你没学过这个定理,可以用如下证明：
连接DO,交圆于F
∵DF为直径（所做）
∴∠DAF=90°（直径所对的角是直角）
∵∠F=∠ABD（同弧所对的的圆周角相等）,∠ADE=∠ABD（见前面的证明）
∴∠F=∠ADE
∵∠F+∠ADF=90°（直角三角形的锐角和为180度）
∴∠ADE+∠ADF=∠EDF=90°（等量公理）
∴DE是圆的切线（过直径一端,且垂直于直径的直线是圆的切线）
（2）
因为：DE是圆的切线（见（1）证明）
所以：∠DOE=2∠EDF（弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半）
已知：tan∠EDF=1/2,
所以：tan∠DOE=2tan∠EDF/(1-tan²∠EDF)=2·(1/2)/[1-(1/2)²]=4/3（半角公式）
设DE=4m,则OD=3m,OE=5m（勾股定理）
cos∠DEF=DE/OE=4/5
**也可以用三角公式直接切得：（不知你是否学过）
cos∠DEF=sin∠DOE=2tan∠DOE/2 /(1+tan²∠DOE/2)=2tan∠EDF /(1+tan²∠EDF)=4/5.