Question

急 若一个函数满足f(x+y)=f(x)+f(y),则满足该条件的一个函数解析式

Answer 1

函数的解析式为 y = kx,证明过程要用到导数和积分

令y = Δx ->0

f(x+Δx) = f(x) + f(Δx)

又f(x)的导函数定义得

f'(x) =[ f(x+Δx) - f(x) ] / Δx = f(Δx) / Δx = f'(Δx) = lim f'(Δx) = f'(0) = k 这里用到Δx ->0的极限

积分得f'(x) = kx + c

注意到f(x+y)=f(x)+f(y) 中,令x=y=0得f(0) = 0,所以c=0

所以f(x) = kx

如果你还看不懂上面的过程,那么只要知道满足f(x+y)=f(x)+f(y)的函数一定是f(x) = kx即可,对解题会有的帮助.

另外几个常见的函数方程的解是：

f(x*y) = f(x) + f(y) =>f(x) = klnx

f(x+y) = f(x)*f(y) => f(x) = a^x