Question

如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，

Answer 1

（1）根据运动过程中动量守恒得：

mv ₀=（M+m）v ₁
解得： v 1 =

m

M+m v 0 =0.5m/s

（2）根据动量定理得：

μmgt=Mv ₁-0

t 1 =

M v 0

(M+m)μg =0.75s

（3）若M＞m，从第一次木板以v ₁反弹开始，有

Mv ₁-mv ₁=（M+m）v ₂
Mv ₂-mv ₂=（M+m）v ₃…

Mv _n-1-mv _n-1=（M+m）v _n
解得：

v 2 =

M-m

M+m v 1

v 3 =

M-m

M+m v 2

…

v n =

M-m

M+m v n-1 = (

M-m

M+m ) n-1

m

M+m v 0

根据动能定理得：

μm gx 1 =

1

2 mv 0 2 -

1

2 (M+m )v 1 2

μm gx 2 =

1

2 mv 1 2 -

1

2 (M+m )v 2 2

…

μm gx n =

1

2 mv n 2 -

1

2 (M+m)v n-1 2

解得：

x 1 =

M

2μg(M+m) v 0 2

x 2 =

2M

μg(M+m) v 1 2

x 3 =

2M

μg(M+m) v 2 2 =

2M

μg(M+m) (

M-m

M+m ) 2 v 1 2

x n =

2M

μg(M+m) v n-1 2 =

2M

μg(M+m) (

M-m

M+m ) 2(n-2) v 1 2

x ₂，x ₃，x ₄，…x _n是一个首项 为

2M

μg(M+m)

v 21

公比为 (

M-m

M+m ) 2 的等比数列，共有n-1项

S n = x 1 +

2M

μg(M+m)

v 21

n

n=2 (

M-m

M+m ) 2(n-2)

= x 1 +

2M

μg(M+m)

v 21 •

1- (

M-m

M+m ) 2(n-1)

1- (

M-m

M+m ) 2

=

M

2μg(M+m)

v 20 +

2M

μg(M+m)

v 21 •

1- (

M-m

M+m ) 2(n-1)

1- (

M-m

M+m ) 2

=

M

2μg(M+m)

v 20 +

2M

μg(M+m) • (

m

M+m ) 2

v 20 •

1- (

M-m

M+m ) 2(n-1)

1- (

M-m

M+m ) 2

=

M

v 20

2μg(M+m) +

m

v 20

2μg(M+m) •[1- (

M-m

M+m ) 2(n-1) ]

在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）

-μmgt ₂=Mv ₂-Mv ₁
-μmgt ₃=Mv ₃-Mv ₂…

-μmgt _n=Mv _n-Mv _{n-1
t 2 =
2M
μg(M+m) v 1
t 3 =
2M
μg(M+m) v 2 =
2M
μg(M+m) •
M-m
M+m v 1
t n =
2M
μg(M+m) v n-1 = t n =
2M
μg(M+m) •(
M-m
M+m ) n-2 v 1}

t ₂，t ₃，t ₄，…t _n是一个首项 为

2M

μg(M+m) v 1 公比为 (

M-m

M+m ) 的等比数列，共有n-1项

t n = t 1 +

2M

μg(M+m) v 1

n

n=2 (

M-m

M+m ) n-2 = t 1 +

2M

μg(M+m) v 1 •

1- (

M-m

M+m ) (n-1)

1-(

M-m

M+m )

=

M v 0

(M+m)μg +

2M

μg(M+m) v 1 •

1- (

M-m

M+m ) (n-1)

1-(

M-m

M+m )

=

M v 0

(M+m)μg +

2M

μg(M+m) •

m

M+m v 0 •

1- (

M-m

M+m ) (n-1)

1-(

M-m

M+m )

=

M v 0

μg(M+m) •[2- (

M-m

M+m ) (n-1) ]

同理可得：若M＜m，

x ₂，x ₃，x ₄，…x _n是一个首项为

2M

μg(M+m)

v 21

公比为 (

m-M

m+M ) 2 的等比数列，

共有n-1项

S n = x 1 +

2M

μg(M+m)

v 21

n

n=2 (

m-M

m+M ) 2(n-2)

= x 1 +

2M

μg(M+m)

v 21

n

n=2 (

m-M

m+M ) 2(n-2)

=

M

2μg(M+m)

v 20 +

2M

μg(M+m)

v 21 •

1- (

m-M

m+M ) 2(n-1)

1- (

m-M

m+M ) 2

=

M

2μg(M+m)

v 20 +

2M

μg(M+m) • (

m

M+m ) 2

v 20 •

1- (

m-M

m+M ) 2(n-1)

1- (

m-M

m+M ) 2

=

M

v 20

2μg(M+m) +

m

v 20

2μg(M+m) •[1- (

m-M

m+M ) 2(n-1) ]

在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）

-μmgt ₂=mv ₂-mv ₁
-μmgt ₃=mv ₃-mv ₂
…

-μmgt _n=mv _n-mv _n-1
t 2 =

2m

μg(m+M) v ₁

t 2 =

2m

μg(m+M) v 2 =

2m

μg(m+M) •

m-M

m+M v ₁

所以 t n =

2m

μg(m+M) v n-1 =

2m

μg(m+M) •(

m-M

m+M ) n-2 v ₁

t ₂，t ₃，t ₄，…t _n是一个首项 为

2m

μg(m+M) v 1 ，公比为 (

m-M

m+M ) 的等比数列，共有n-1项

t n = t 1 +

2m

μg(m+M) v 1

n

n=2 (

m-M

m+M ) n-2 = t 1 +

2m

μg(m+M) v 1 •

1- (

m-M

m+M ) (n-1)

1-(

m-M

m+M )

=

M v 0

(M+m)μg +

2m

μg(m+M) v 1 •

1- (

m-M

m+M ) (n-1)

1-(

m-M

m+M )

=

M v 0

(M+m)μg +

2m

μg(m+M) •

m

M+m v 0 •

1- (

m-M

m+M ) (n-1)

1-(

m-M

m+M )

=

M v 0

(M+m)μg +

m 2 v 0

μgM(m+M) •[1- (

m-M

m+M ) (n-1) ] ．

答：（1）木块与小车共同运动的速度的大小为0.5m/s；

（2）木块在小车上相对滑行的时间为0.75s；

（3）从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间为

M v 0

μg(M+m) •[2- (

M-m

M+m ) (n-1) ] 或

M v 0

(M+m)μg +

m 2 v 0

μgM(m+M) •[1- (

m-M

m+M ) (n-1) ] ，木块在小车上滑行的路程为

M

v 20

2μg(M+m) +

m

v 20

2μg(M+m) •[1- (

M-m

M+m ) 2(n-1) ] 或

M

v 20

2μg(M+m) +

m

v 20

2μg(M+m) •[1- (

m-M

m+M ) 2(n-1) ] ．