楼上似乎都没答到点上,楼主想问的是左右导数,与导函数的左右极限的区别.
f '+(x0)=lim[x→x0+) [f(x)-f(x0)]/(x-x0)
这是右导数,因此要求这个,首先要求函数f(x)在x0的右邻域内存在.哪果左右导数都存在且相等,可以说明函数在这一个点是可导的,但是在其它点是否可导,就不一定了.
而lim[x→x0+] f '(x),是要先求出导函数,然后再令x→x0+取极限,这样能看到,lim[x→x0+] f '(x)要想存在,首先要求f '(x)在x0的右邻域内是存在的.因此这个条件要求更高一些.
然后要注意:左右导数与导函数的左右极限经常是相等,但是不一样,有时是不同的.
如分段函数:
f(x)=x²sin(1/x) x≠0
0 x=0
这个函数是一个比较典型的函数,下面你自己验证一下(如证不出来可追问我),这个函数在x=0处是可导的,也就是说f '+(x0),f '-(x0)都存在,但是导函数f '(x)在x=0处极限不存在,也就是说,lim[x→x0+] f ‘(x),lim[x→x0-] f ‘(x)都不存在.