长方形,正方形和圆,若它们三个的周长都相等,那么面积最大的是?

2个回答

  • 圆面积最大

    1.周长为L(常数)的矩形中正方形面积最大.

    证明:设矩形长为x,则宽为(L-2x)/2=(L/2-x)

    面积y=x*(L/2-x)=-x^2+Lx/2,这个二次函数

    在x=L/4时有最大值

    ∴矩形长L/4,宽为(L-2x)/2=(L/2-x)=L/4,

    ∴矩形中正方形面积最大

    2.奇妙的证明:周长相等的所有平面图形中,圆的面积最大.

    我首先要证明,面积最大的图形满足一个性质:一条平分周长的直线(暂且把它叫做周长平分线),一定也平分面积.因为,如果不平分面积的话,那么我总可以把面积较大的那块翻到另一边去,使得周长不变,而面积增大(如左图,红色曲线围成的面积大于蓝色曲线).好了,接下来,我要再证明面积最大的图形满足第二条性质:周长平分线与曲线的两个交点和曲线上任意一点构成的三角形,必然是直角三角形.因为,如果它不是直角三角形,我可以把他拉伸或压缩一下,使它成为直角三角形,这样新三角形的面积大于原三角形的面积(证明省略,主要使用S=absinθ/2),而图形其他部分面积不变,这样面积就扩大了.因此,面积最大的图形满足上述两条性质,我们就不难推出它是圆了.